Massachusetts Institute of Technology (MIT)

aproximační křivka 3. stupně daná 4 řídícími body $P_0, P_1, P_2, P_3$

vektorová rovnice:

Coonsovy polynomy

$C_0(t)=\frac{1}{6}(1-t)^3$
$C_1(t)=\frac{1}{6}(3t^3-6t^2+4)$
$C_2(t)=\frac{1}{6}(-3t^3+3t^2+3t+1)$
$C_3(t)=\frac{1}{6}t^3$

derivace Coonsových polynomů:

$C'_0(t)=-\frac{1}{2}(1-t)^2$
$C'_1(t)=\frac{1}{2}(3t^2-4t)$
$C'_2(t)=\frac{1}{2}(-3t^2+2t+1)$
$C'_3(t)=\frac{1}{2}t$

řídící polygon $P_0,P_1,P_2,P_3$ Coonsovy kubiky $\mathscr{P}(t)$

řídící polygon $R_0,R_1,R_2,R_3$ Coonsovy kubiky $\mathscr{R}(s)$

$C^0 \iff \frac{1}{6}P_1 + \frac{2}{3}P_2 + \frac{1}{6}P_3 = \frac{1}{6}R_0 + \frac{2}{3}R_1 + \frac{1}{6}R_2$

$C^1 \iff C^0 \land -\frac{1}{2}P_1+\frac{1}{2}P_3=-\frac{1}{2}R_0+\frac{1}{2}R_2$

$C^2 \iff C^1 \land P_1-2P_2+P_3=R_0-2R_1+R_2$

soustava 3 rovnic pro neznámé $R_0,R_1,R_2$ $\Rightarrow$ jediné řešení $R_0=P_1$, $R_1=P_2$, $R_2=P_3$

- aproximační vícesegmentová křivka třetího stupně, jejíž segmenty jsou Coonsovy kubiky napojené s $C^2$ spojitostí

v terminologii NURBS $\Rightarrow$ Uniformní neRacionální B-Spline 3. stupně

Dáno: $P_0, P_1, ..., P_n$

jednotlivé segmenty jsou Coonsovy kubiky s řídícími polygony:

$P_0P_1P_2P_3$

$P_1P_2P_3P_4$

$\dots$

$P_{n-3}P_{n-2}P_{n-1}P_n$

počet segmentů: n-2

Dáno: $P_0, P_1, ..., P_n$

vícesegmentová B-spline kubika, prochází krajními řídícími body, ostatní body aproximuje

počet segmentů: n-2