Praktická cvičení z Numerické matematiky

Soustavy lineárních a nelineárních algebraických rovnic - 1. týden

---

• Norma vektoru a maticové normy

Normy vektoru spočteme příkazem norm

  x = [ 2; -1; 0];

  norm(x, 1)
  norm(x, 2)
  norm(x, inf)

Maticové normy také

  A = [ 1 2 3 ; 4 5 6; 7 8 9];
  norm(A, 1)
  norm(A, Inf)
  % take normu spektralni
  norm(A, 2)  

Frobeniovu normu pak např.

  norm(A, 'fro')
  sqrt(sum(sum(A.*A)))

Vlastní čísla a spektrální poloměr matice

  lambda = eig(A);
  max(abs(eig(A)))

Vlastní čísla a vlastní vektory

  [u,lam] = eig(A);

---

• Pozitivní definitnost matice
Pro malé symetrické matice se pozitivní definitnost ověří např. přes vlastní čísla

  A = [ 2 1 1 ; 1 5 1; 1 1 9];
  eig(A)

---

• Příklad 1.7: Číslo podmíněnnosti a jeho geometrická interpretace
  

  A = [ 2 -1;  -1  2];
  
  b  = [ -0.1; 0.1 ];
  b1 = b + (1e-5) * [ 1; 1];

  x  = A \ b;
  x1 = A \ b1;

Číslo podmínněnosti, druhý vztah jen pro symetrické matice

  cond(A)
  max(eig(A)) / min(eig(A))

Geometrická interpretace normy matice

  A = [ 2 -1;  -1  2];
  phi = (0:1e-2:(2*pi))'; 
  xy = [cos(phi), sin(phi)]';
  Axy = A * xy;
  plot(xy(1, :), xy(2, :), 'k-', Axy(1,:), Axy(2, :), 'b');

---

• Příklad 1.8: Velké matice, třídiagonální
  

  n = 10; pom = ones(n -1, 1);
  A = 2 * diag(ones(n, 1)) - diag(pom, 1) - diag(pom, -1); 

  [u,lam] = eig(A);
  
  % zobrazeni 3. vlastniho vektoru 
  plot( u(:,3) )

nebo

n=10;
e=ones(n,1); A = full(spdiags([-e 2*e -e ], [-1:1], n, n))

spy(A)

---

• Příklad 1.9:
  
Vytvoreni matice

n =5; 
e=ones(n,1); 
B = full(spdiags([-e 4*e -e ], [-1:1], n, n)); 
E = diag(-e);
A = []; for i = 1:n, A = blkdiag(A, B); end,
A = A - diag(ones(n*(n-1),1), -n) - diag(ones(n*(n-1),1), n);
spy(A)