Počítačová grafika 2019/20

Plochy

Plocha

každá souvislá podmnožina $\mathbb{E}_3$, která je spojitým obrazem souvislé oblasti $I\subset \mathbb{E}_2$.

  • vektorová rovnice plochy
  • plát
  • uniformní parametrizace

Plocha

  • parametrické souřadnice bodu plochy
  • parametrické u-křivky plochy
  • parametrické v-křivky plochy

Plát

  • rohy plátu
  • okrajové křivky plátu

Plocha

tečné vektory \[P^u(u,v)= \frac{\partial P(u,v)}{\partial u}, P^v(u,v)= \frac{\partial P(u,v)}{\partial v}\]

tečná rovina a normála

\[\vec{n}(u,v)=P^u(u,v)\times P^v(u,v)\]

vektor zkrutu \[P^{uv}(u,v)=\frac{\partial^2 P(u,v)}{\partial u\partial v}=\frac{\partial^2 P(u,v)}{\partial v\partial u}\]

Přímková přechodová plocha

Přímková přechodová plocha

Určení: dva okraje plátu ve směru u (tj. $P_0(u), P_1(u)$)
vektorová rovnice: $P(u,v)=(1-v)P_0(u)+vP_1(u), (u,v)\in [0,1]^2$

Přímková přechodová plocha

Určení: dva okraje ve směru v (tj. $P_0(v), P_1(v)$)
vektorová rovnice: $P(u,v)=(1-u)P_0(v)+uP_1(v), (u,v)\in [0,1]^2$

Příklad

Přímková přechodová plocha je dána okraji
\[P_0(v)=(0,v,1-v^2), P_1(v)=(3,2v,0), v\in[0,1).\]
Určete:
  • vektorovou rovnici plátu
  • vektorové rovnice zbývajících okrajů
  • rohové body plátu
  • tečné vektory v rozích plátu
  • vektory zkrutu v rozích plátu

Plát načrtněte pomocí okrajových křivek.

Přímková přechodová plocha

Plocha hyperbolického paraboloidu

Plocha hyperbolického paraboloidu

Určení: rohy plátu (tj. body $P(0,0), P(0,1), P(1,0), P(1,1)$)

Plocha hyperbolického paraboloidu

vektorová rovnice plátu:

\[P(u,v)=(1-u)(1-v)P_{0,0}+v(1-u)P_{0,1}+u(1-v)P_{1,0}+uvP_{1,1},\]$(u,v)\in [0,1]^2$

Přímková přechodová plocha

  • interpoluje dané okraje
  • parametrické křivky druhého systému než dané okraje jsou úsečky

Hyperbolický paraboloid

  • interpoluje rohy plátu (i okrajové úsečky)
  • parametrické křivky obou soustav jsou úsečky
  • je speciálním případem přímkové přechodové plochy
  • vektor zkrutu je konstantní podél celého plátu