Konstruktivní geometrie 2023/24

Analytická geometrie v $\mathbb{E}_3$

Analytická geometrie

tzv. souřadnicová či kartézská geometrie, která zkoumá geometrické útvary a vztahy mezi nimi metodami algebry a matematické analýzy

Základní pojmy

  • pravotočivá kartézská soustava souřadnic
  • bod, vektor
  • souřadnice vektoru \[\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\]
  • velikost vektoru \[\|\vec{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\]

skalární součin

  • skalární součin dvou nenulových vektorů \[\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\varphi\]

  • odchylka dvou nenulových vektorů \[\cos\varphi=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}\]

vektorový součin

  • $\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)$
  • $\|\vec{u}\times\vec{v}\|=$ obsah rovnoběžníka $\vec{u},\vec{v}$

smíšený součin

  • $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\text{det}(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$
  • $\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=$ objem rovnoběžnostěnu $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$

další pojmy

  • 2 vektory lineárně závislé $\Leftrightarrow$ určují stejnou přímku $\Leftrightarrow$ kolineární
  • 3 vektory lineárně závislé $\Leftrightarrow$ leží v jedné rovině $\Leftrightarrow$ komplanární

Analytický popis základních prvků prostoru

Přímka

jednou rovnicí pouze parametricky!

$X(t)=A+ t\cdot\vec{u}, t\in\mathbb{R}$

jedna přímka má nekonečně mnoho vyjádření v parametrickém tvaru
(zavisí na zvoleném bodu a směrovém vektoru)!

Rovina

  1. obecná rovnice \[ax+by+cz+d=0\]

  2. úsekový tvar \[\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1\]

  3. parametrická rovnice \[X(t,s)=A+t\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}, s\in\mathbb{R}, t\in\mathbb{R}\]

Rovina - zobrazení

  • $\alpha: y = 0$
  • $\beta: z = 3$
  • $\gamma: 5x + 4y - 20 = 0$
  • $\rho: 4x + 3y + 2z - 12 = 0$
  • $\sigma: 4x + 3y -2z = 12$

Úmluva: znázorňujeme jen část roviny v prvním oktantu!

Rovina - zobrazení

Určování vzájemné polohy prvků prostoru

Bod $\times$ přímka

Zjistěte, zda bod $M$ leží na přímce $p=(A,\vec{u})$.
$M=[2,1,0], A=[1,-1,2], \vec{u}=(1,2,-1)$.

Bod $\times$ přímka

Pomocí rovnice přímky $p$

$p: X(t)=A+t\vec{u}, t\in\mathbb{R}$
rozepsat po souřadnicích $\implies$ soustava rovnic
dosadit bod $M$
vyřešit

Bod $\times$ přímka

Využitím lineární závislosti vektorů

Bod $\times$ přímka

Řešení:

$\vec{AM}=M-A=(1,2,-2) \implies \vec{u}, \vec{AM}\ \text{nekolineární} \implies M\notin p$

přímka $\times$ přímka

Klasicky - podle počtu řešení soustavy 3 rovnic pro 2 neznámé

  • nekonečně mnoho řešení (dim 1) $\Leftrightarrow$ přímky totožné
  • právě jedno řešení $\Leftrightarrow$ přímky různoběžné
  • žádné řešení $\Leftrightarrow$ přímky rovnoběžné nebo mimoběžné
    (rozhodnout podle závislosti/nezávislosti směrových vektorů)

přímka $\times$ přímka

Využitím lineární závislosti vektorů

přímka $\times$ přímka

Využitím lineární závislosti vektorů

přímka $\times$ přímka

Využitím lineární závislosti vektorů

přímka $\times$ přímka

Určete vzájemnou polohu přímek $p = MN$ a $q = (K,\vec{v})$. $M = [1,-1,0], N = [2,1,1], K = [3,3,4], \vec{v} = (2,4,2).$

přímka $\times$ přímka

Řešení:

$\vec{MN}=N-M=(1,2,1)\ \text{je kolineární s}\ \vec{v}=(2,4,2)$

$\implies$ přímky jsou rovnoběžné nebo totožné
$\vec{MK}=K-M=(2,4,4)\ \text{není kolineární s}\ \vec{MN}$

$\implies$ přímky $p$, $q$ jsou rovnoběžné.

přímka $\times$ rovina

Klasicky - podle počtu řešení "soustavy rovnic" - 1 rovnice pro 1 neznámou

  • nekonečně mnoho řešení (dim 1) $\Leftrightarrow$ přímka leží v rovině
  • právě jedno řešení $\Leftrightarrow$ přímka různoběžná s rovinou
  • žádné řešení $\Leftrightarrow$ přímka rovnoběžná s rovinou

přímka $\times$ rovina

Využitím vztahu kolmosti dvou vektorů

přímka $\times$ rovina

Využitím vztahu kolmosti/lin. závislosti vektorů

přímka $\times$ rovina

Využitím vztahu kolmosti/lin. závislosti vektorů

rovina $\times$ rovina

Klasicky - podle počtu řešení soustavy 2 rovnic pro 3 neznámé

  • nekonečně mnoho řešení (dim=2) $\Leftrightarrow$ roviny totožné
  • nekonečně mnoho řešení (dim=1) $\Leftrightarrow$ roviny různoběžné
  • žádné řešení $\Leftrightarrow$ roviny rovnoběžné

rovina $\times$ rovina

Využitím lineární závislosti vektorů

rovina $\times$ rovina

Využitím lineární závislosti vektorů

rovina $\times$ rovina

Využitím lineární závislosti vektorů

rovina $\times$ rovina

Určete vzájemnou polohu rovin $\alpha, \beta$.
$\alpha: 3x + y + z = 3$,
$\beta: x + y + 2z = 2.$

rovina $\times$ rovina

Řešení:

$\vec{n_\alpha}=(3,1,1)$, $\vec{n_\beta}=(1,1,2)\ \text{nekolineární}$

$\implies$ roviny $\alpha, \beta$ jsou různoběžné.

rovina $\times$ rovina

Najděte společné body rovin $\alpha, \beta$.
$\alpha: 3x + y + z = 3$,
$\beta: x + y + 2z = 2.$

rovina $\times$ rovina

Metrické úlohy v prostoru

odchylka

  • dvou přímek $p = (M, \vec{u}), q = (N, \vec{v})$
    \[\cos\varphi=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}, \varphi\in\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle\]

  • dvou rovin $\alpha = (A, \vec{n_{\alpha}}), \beta = (B, \vec{n_{\beta}})$ \[\cos\varphi=\frac{|\vec{n_{\alpha}}\cdot\vec{n_{\beta}}|}{\|\vec{n_{\alpha}}\|\|\vec{n_{\beta}}\|}, \varphi\in\langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle\]

  • přímky $p = (M, \vec{u})$ od roviny $\alpha = (A, \vec{n_{\alpha}})$ \[\cos\varphi'=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{n_{\alpha}}|}{\|\vec{u}\|\|\vec{n_{\alpha}}\|}, \varphi=\frac{\pi}{2}-\varphi'\]

vzdálenost, kolmost

Určete vzdálenost bodu $U$ od roviny $\rho$.
$U = [1,2,1],$ $\rho: 3x + y + 2z - 21 = 0.$

vzdálenost, kolmost

Příště:

Kvadratické plochy