KG 2023/24

Konstruktivní geometrie 2023/24

Šroubovice

Šroubovice - úvod

křivka jako trajektorie bodu vykonávajícího šroubový pohyb

šroubový pohyb - pohyb složený z rotace (otáčení) a translace (posunutí),

Šroubový pohyb

Určení šroubového pohybu:

osa šroubového pohybu
přímá úměrnost mezi rotací a posunutím: $$p=v_0\cdot \omega,$$
kde $p$ je posunutí, $\omega$ úhel otočení (v rad) a parametr $\color{red}{v_0}$ je tzv. redukovaná výška závitu (otočení o $1$ rad).

Pozn. Pokud je šroubovice zadaná pomocí tzv. výšky závitu $\color{red}v$ (otočení o $2\pi$ rad), pak: \[v_0=\frac{v}{2\pi}\]
smysl šroubového pohybu
- pravotočivý ( = stoupání podle pravidla pravé ruky, rotace proti směru hodin) nebo levotočivý

šroubovice - určení

bod, šroubový pohyb (osa, parametr $v_0$ nebo výška závitu, smysl)

šroubovice - rovnice

bod $A[x_0,y_0,0]$, šroubový pohyb - osa $z$, parametr $v_0$, pravotočivý

rotace $\rightarrow$ kružnice $$P_k(t)=(\sqrt{x_0^2+y_0^2}\cos t,\sqrt{x_0^2+y_0^2}\sin t,0), t\in<0,2\pi>$$

translace $\rightarrow$ přímka $$P_p(t)=(x_0,y_0,t),t\in\mathbb{R}$$

šroubový pohyb $\rightarrow$ šroubovice $$P(t)=(r\cos t,r\sin t,v_0t), t\in\mathbb{R}, r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$$

(vzdálenost $r$ určujícího bodu od osy šroubového pohybu je tzv. poloměr šroubovice).

Šroubovice - zobrazení

v Mongeově promítání:

rotace $\rightarrow$ kružnice ... v rovině kolmé k ose šroubového pohybu
posunutí $\rightarrow$ přímka ... rovnoběžná s osou šroubového pohybu

Úmluva:

osa šroubového pohybu kolmá k půdorysně
ve 2. průmětu vyznačit šipkou dolů klesání + v 1. průmětu vyznačit šipkou smysl klesání

parametr $v_0$ vyznačen úsečkou na ose $o$

model šroubovice - geogebra

Příklad 1: Zobrazte jeden závit pravotočivé šroubovice bodu $A$ na válcové ploše.
Šroubový pohyb je určen osou $o$, výška závitu = výška zobrazené části válcové plochy.

Základní úlohy o šroubovicích

dáno: bod, šroubový pohyb (osa $o$, parametr $v_0$, smysl)

konstrukce dalšího bodu šroubovice, je-li daný úhel otočení (graficky) při šroubovém pohybu
konstrukce dalšího bodu šroubovice, je-li dané posunutí při šroubovém pohybu
konstrukce tečny v libovolném bodě šroubovice

Příklad 2: Levotočivý šroubový pohyb je určen osou $o$ a parametrem $v_0$.
Sestrojte průsečík $R$ šroubovice bodu $B$ s rovinou $\sigma$.

Příklad 3: Pravotočivý šroubový pohyb je určen osou $o$ a parametrem $v_0$.
Sestrojte průsečík $R$ šroubovice bodu $B$ s rovinou $\sigma$.

Tečna ke šroubovici

tečna prostorové křivky:

analyticky $\rightarrow$ přímka určená bodem a tečným vektorem $P'$ v bodě křivky \[P'(t)=(-r\sin t, r\cos t,v_0)\]

graficky $\rightarrow$ průmět tečny ke křivce = tečna k průmětu křivky
- půdorys tečny $\Rightarrow$ tečna ke kružnici
- nárys tečny $\Rightarrow$ tečna k nárysu šroubovice ... ?

Řídící kužel šroubovice

Řídící kužel šroubovice je rotační kužel s osou v ose šroubového pohybu, vrcholem ve výšce $v_0$ a poloměrem kružnice podstavy totožným s poloměrem šroubovice.