Rovinná křivka - základní pojmy
- tzv. jednoparametrická množina bodů, $P(t)=[x(t),y(t)]$,
kde $x(t)$ a $y(t)$ jsou spojité funkce na intervalu $I\subset \mathbb{R}$ - tečný vektor v "rozumném" bodě křivky, $X'(t)=(x'(t),y'(t))\neq (0,0)$
- tečna
- normála
- elementární rovinné křivky: kružnice, přímka
Rovinná křivka - výjimečné body
- body křivky s problematickými tečnami
- bod vratu V - neexistuje tečný vektor, tečna dodefinovaná
- uzlový bod U - dva různé tečné vektory, dvě tečny
Rovinné křivky - dotyk
Dvě rovinné křivky se dotýkají, pokud mají v bodě dotyku společnou tečnu a normálu.
Kinematická geometrie - pohyb
- 2 neměnné rovinné soustavy:
- pevná soustava Σ
- hybná soustava σ
- pohyb = pohyb hybné soustavy σ po pevné soustavě Σ
Křivky vzniklé rovinným pohybem
trajektorie bodu
- křivka vytvořená pohybem bodu $A$
- tzv. stopa bodu
- značení: $\tau^A$
- fáze pohybu bodu $A$ → horní index
Křivky vzniklé rovinným pohybem
obálka křivky $k$
- křivka vytvořená pohybem křivky k
- v každém okamžiku pohybu se dotýká pohybující se křivky $k$
- značení: $(k)$
Další křivky technické praxe (*)
ekvidistanta křivky $k$
- křivka tvořená body v konstantní vzdálenosti od křivky $k$, kdy vzdálenost je měřena na normálách křivky $k$
Další křivky technické praxe (*)
evoluta křivky $k$
- obálka normál křivky $k$
- $l$ je evolutou křivky $k$ ↔ $k$ je tzv. evolventou křivky $l$
evoluta elipsy → asteroida
elipsa → evolventa asteroidy
Určení pohybu - I/A
- 2 body $A, B$ + jejich trajektorie $\tau^A, \tau^B$
$\tau^A, \tau^B$ přímky → eliptický pohyb
Příklad A
Pohyb je určen určen trajektorií bodu $A$ a trajektorií bodu $B$. Sestrojte další dvě polohy přímky $c$.
Určení pohybu - I/B
- bod $A$, křivka $b$ + trajektorie $\tau^A$, obálka $(b)$
$(b)$ bod → konchoidální pohyb
Příklad B
Pohyb je určen určen trajektorií bodu $A$ a bodovou obálkou přímky $b$. Sestrojte další dvě polohy kružnice $k$.
Určení pohybu - I/C
- 2 křivky $a, b$ + jejich obálky $(a), (b)$
$a, b$ přímky + $(a), (b)$ body → kardioidický pohyb
Příklad C
Pohyb je určen určen bodovou obálkou přímky $a$, kruhovou obálkou přímky $b$. Sestrojte další dvě polohy bodu $C$.
Elementární pohyb v rovině
dvě polohy hybné soustavy $\sigma^1$ a $\sigma^2$ → existuje elementární pohyb, který převádí $\sigma^1$ do $\sigma^2$
elementární pohyb → otáčení
dva okamžiky "blízko sebe" → otáčení → okamžitý střed otáčení čili pól pohybu
Pól pohybu (= okamžitý střed otáčení)
- průsečík všech normál trajektorií bodů a normál obálek křivek v daném okamžiku
- vztah tečna ↔ normála
- pevná polodie
Pascalova závitnice
ekvidistanta Nikomedovy konchoidy