Prace s vektory, skript.
Vytvořte skript, který pro nějaké vektory 𝑢⃗ ,𝑣⃗ ,𝑤⃗ a 𝑧⃗ provede Gram - Schmidtův ortogonalizační proces, tedy přesněji z dané skupiny vektorů vytvoří ortonormální vektory dle postupu z předchozího cvičení. Přesněji:
a) Vektor 𝑢⃗ pozměňte na vektor jednotkové velikosti.
b) Vypočtěte skalární součin vektorů 𝑣⃗ ⋅𝑢⃗ a vektor 𝑣⃗ pozmění tak aby byl ortogonální na vektor 𝑢⃗ . Výsledný vektor pozměňte tak, aby měl jednotkovou velikost.
𝑣⃗ :=𝑣⃗ −(𝑢⃗ ⋅𝑣⃗ )𝑢⃗
c) Vypočtěte skalární součin vektorů 𝑤⃗ ⋅𝑢⃗ , 𝑤⃗ ⋅𝑣⃗ a vektor 𝑤⃗ pozměňte tak aby byl ortogonální na vektory 𝑢⃗ ,𝑣⃗ . Výsledný vektor přenásobte tak aby měl jednotkovou velikost.
𝑤⃗ :=𝑤⃗ −(𝑤⃗ ⋅𝑢⃗ )𝑢⃗ −(𝑤⃗ ⋅𝑣⃗ )𝑣⃗
d) Vypočtěte skalární součin vektorů 𝑧⃗ ⋅𝑢⃗ , 𝑧⃗ ⋅𝑣⃗ , 𝑧⃗ ⋅𝑤⃗ . Vektor 𝑧⃗ pozměňte tak aby byl ortogonální na vektory 𝑢⃗ ,𝑣⃗ i na vektor 𝑤⃗ . Výsledný vektor pak upravte aby měl jednotkovou velikost.
e) Daný vektor 𝑟⃗ následně (v závislosti na dimenzi) vyjádřete pomocí získané ortonormální báze, případně spočtěte projekci vektoru 𝑟⃗ do lineárního obalu vektorů 𝑢⃗ ,𝑣⃗ ,𝑤⃗ ,𝑧⃗ !
u = [2, 1, 0, -1]';
v = [1, 4, 0, 2]';
w = [1, 0, 2, 0]';
z = [3, 1, 0, 1]';
u' * v
dot(u,v)
r = [5, 6, 7, 8];